ÍNDICE
- Trigonometría básica
- Unidades de medida de los ángulos
- Radianes
- Grados sexagesimales
- Seno del ángulo
- Coseno del ángulo
- Tangente del ángulo
- Razones trigonométricas inversas
- Cosecante del ángulo
- Secante del ángulo
- Cotangente del ángulo
- Funciones trigonométricas inversas
- Arcoseno del ángulo
- Arcocoseno del ángulo
- Arcotangente del ángulo
- Signos de las razones trigonométricas
- Identidades trigonométricas básicas
- Trigonometría en otros sistemas de coordenadas
- Coordenadas polares
- Coordenadas esféricas
- Caso práctico
- Bibliografía y webgrafía
TRIGONOMETRÍA BÁSICA
La
trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga
del estudio de la relación entre los lados de un triángulo y sus
ángulos.
UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Hay dos tipos de medida de ángulos principales, los radianes y los
grados sexagesimales.
El radián es la unidad de ángulo plano utilizada en el
Sistema Internacional de Unidades. Básicamente representa el ángulo
como la longitud del arco delimitado entre los dos radios del ángulo
dividida entre el radio en sí, es decir:
De este modo, vemos que el círculo completo son 2π
radianes.
El grado sexagesimal es la unidad del ángulo utilizada en el
sistema sexagesimal, y es a la que estamos más acostumbrados.
Básicamente parte de la premisa de que un ángulo recto tiene 90º,
por lo que el círculo completo son 360º.
La conversión entre ellos se puede llevar a cabo haciendo
una sencilla regla de tres:
SENO DE UN ÁNGULO
Si
nos fijamos en esta imagen, podemos ver que existen tres triángulos
en ella: AOB, A'OB' y A''OB''. Así, para un
mismo ángulo α, podemos
ver que la altura de los catetos opuestos AB, A'B'
y A''B'' son directamente proporcionales a la longitud de sus
hipotenusas OB, OB' y OB'', es decir, que
si sacamos la constante de proporcionalidad de cada uno de estos
catetos con respecto a sus hipotenusas, dicha constante de
proporcionalidad será igual en las tres, o dicho de otro modo:
Pues
bien, a dicha constante de proporcionalidad es a la que comúnmente
se le denomina en trigonometría el seno del ángulo α:
COSENO DE UN ÁNGULO
Si nos volvemos a fijar en la imagen inicial, podemos ver que la
misma proporcionalidad directa que hay entre el tamaño de los
catetos opuestos con sus hipotenusas se puede aplicar a los catetos
adyacentes OA, OA' y OA'', es decir:
A
la constante de proporcionalidad entre el cateto adyacente y la
hipotenusa es a lo que denominaremos en trigonometría como el Coseno
del ángulo α:
TANGENTE DE UN ÁNGULO
Una
vez definidas las relaciones entre los catetos con su hipotenusa, lo
único que nos queda por determinar es la relación de catetos entre
sí, y a esto es a lo que en trigonometría se conoce como la
Tangente del
ángulo α:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
A parte de las tres relaciones básicas que hemos nombrado (seno,
coseno y tangente) se encuentran otras que son las inversas de las
anteriores.
La
Cosecante del
ángulo α
es la inversa del seno del ángulo α, es decir:
La
Secante del
ángulo α
es la inversa del coseno del ángulo α, es decir:
La
Cotangente del
ángulo α
es la inversa de la tangente del ángulo α, es decir:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas son las funciones
inversas de las razones trigonométricas. Es muy fácil confundirlas
con las razones trigonométricas inversas, por lo que hay que tener
especial cuidado.
El Arcoseno del ángulo α (arcsin o sin-1)
es la función inversa del seno de α:
El Arcocoseno del ángulo α (arccos o cos-1)
es la función inversa del coseno de α:
La Arcotangente del ángulo α (arctan o tan-1)
es función inversa de la tangente de α:
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Dependiendo del cuadrante, cada razón trigonométrica tendrá
siempre el mismo signo, sea cual sea su valor.
 |
| Seno/Cosecante Coseno/Secante Tangente/Cotangente |
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que
involucran funciones trigonométricas y que nos pueden ayudar a la
hora de simplificar operaciones, dado que computacionalmente las
operaciones trigonométricas son bastante costosas.
Relación Pitagórica
|
Identidad de la razón
|
 |
 |
Combinando
estas dos identidades, se pueden establecer las funciones
trigonométricas de cada razón trigonométrica con respecto a las
otras, aunque en estas ecuaciones el signo devuelto puede resultar
incorrecto, por lo que se necesita saber los valores para los cuales
la función trigonométrica es positiva o negativa (ie, para sin θ
= ½ la conversión sería 
pero
podría ser que 
).
pero
podría ser que 
).
TRIGONOMETRÍA EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS
Dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos,
es posible que necesitemos realizar una conversión al sistema de
coordenadas cartesiano para poder trabajar con las funciones
trigonométricas.
Para el sistema de coordenadas polares, dado que
este especifica un ángulo y una distancia con respecto al origen,
las transformaciones son relativamente sencillas haciendo uso de las
razones trigonométricas y del teorema de Pitágoras:
Para el sistema de coordenadas esféricas es un
poco más complejo, dado que tenemos tres dimensiones.
CASO PRÁCTICO
Supongamos que tenemos un enemigo situado en el punto e
(ex, ey), un jugador en el punto
p (px, py) y queremos
que el enemigo persiga al jugador en cuanto entre dentro de su rango.
Si unimos los dos
puntos obtendremos una recta, que estará inclinada con respecto al
eje x con una
pendiente m, que como
vimos en el apartado de Geometría, se puede calcular aplicando la
siguiente fórmula:
Con la pendiente
calculada, que se corresponde con la tangente de α, podemos obtener
el ángulo de inclinación α mediante la aplicación del
arcotangente:
Ahora que tenemos el
ángulo, ya podemos aplicar las funciones de seno y coseno para
determinar la posición del enemigo en cada frame para que persiga al
jugador:
Y si lo que queremos
es que el enemigo huya del jugador (imaginaos al Pac-Man después de
comerse una de las bolas especiales) bastaría con invertir los
signos de suma y resta.
BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA
- Wikipedia:
- Física en línea:
- Aula Fácil:
- Tongoxcore:
- Disfruta las matemáticas:
- Universo Fórmulas:
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