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[Matemáticas Aplicadas] 1. Geometría analítica

ÍNDICE
  • Sistemas de Coordenadas
    • Coordenadas Cartesianas
      • Convenio de la mano izquierda
      • Convenio de la mano derecha
    • Coordenadas Cilíndricas
    • Coordenadas Esféricas
  • Puntos y rectas
    • Punto
    • Recta
    • Ecuación punto-pendiente
    • Pendiente
    • Aplicación práctica
  • Teorema de Pitágoras
    • Aplicación práctica


 SISTEMAS DE COORDENADAS
Distinguimos tres tipos de sistemas de coordenadas: las coordenadas cartesianas, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas.
  • Coordenadas Cartesianas
    Coordenadas cartesianas: definen dos (x, y) o tres (x, y, z) ejes de coordenadas, dependiendo de si el sistema utiliza dos o tres dimensiones, perpendiculares entre sí, para especificar la posición del punto en el espacio. Es el sistema de coordenadas más habitual y hay dos convenios para la definición de sus ejes:
    • Convenio de la mano izquierda: según este convenio, la parte positiva del eje Z estaría localizada detrás de los planos x e y.
    • Convenio de la mano derecha: según este convenio, la parte positiva del eje Z estaría localizada delante de los planos x e y.
      Convenio de la mano izquierda
      Convenio de la mano derecha


  • Coordenadas Cilíndricas
    Coordenadas cilíndricas: para especificar un punto en el espacio, definen un eje vertical con una altura h, un eje radial r que indica la distancia con respecto al eje vertical, y un ángulo de rotación θ que indica la rotación del punto con respecto a una circunferencia de radio rSu versión 2D serían las coordenadas polares, donde simplemente no se tendría en cuenta la altura h.

Coordenadas Esféricas



  • Coordenadas esféricas: emplean dos ángulos Φ y θ, y una distancia radial r para especificar un punto en el espacio








PUNTOS Y RECTAS
Como ya hemos visto en el apartado anterior, el punto es la figura geométrica que se utiliza para localizarnos en el plano. No tiene dimensión ni volumen.

Por su parte, la recta es la línea que une dos puntos, por lo que es una figura bidimensional. Para representarla, dado un punto p localizado en (p.x, p.y) una pendiente m (inclinación de la recta con respecto a la horizontal), se puede obtener su ecuación a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Ahora bien, si conocemos la pendiente m y el punto de intersección con el eje de coordenadas y, localizado en el punto (0, n), la ecuación punto-pendiente se puede simplificar de la siguiente manera:




La pendiente, por su parte, se puede calcular utilizando la siguiente ecuación:

Aplicación práctica

Supongamos que estamos haciendo un videojuego en el que hay una trampa que lanza flechas en cuanto el jugador la activa. Una de las formas de implementar el movimiento de la flecha podría ser que, al activarse la trampa, se calcule la ecuación de la recta entre el jugador y la flecha, de manera que la flecha sólo tendrá que aplicar esta ecuación en cada frame para seguir su movimiento rectilíneo.

Otro posible escenario sería un enemigo que persigue al jugador cuando entra en su rango de acción. En este caso no bastaría con calcular la ecuación de la recta en el primer frame y aplicarla el resto de frames sino que ésta tendría que recalcularse en cada frame para tener en cuenta la nueva posición del jugador.


TEOREMA DE PITÁGORAS
Los lados de un triángulo rectángulo se pueden relacionar entre sí por medio del teorema de Pitágoras, que establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus respectivos catetos.




Este teorema es muy útil para el cálculo de distancias entre dos elementos.

Aplicación práctica

En el ejemplo anterior hemos hablado de un enemigo que perseguía al jugador cuando lo detectaba pero, ¿cómo hacer que lo detecte? Una forma fácil sería aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre el jugador y el enemigo en cada frame y hacer que, si el jugador está a una distancia menor que X, el enemigo se ponga en modo ataque.

Así, suponiendo que el jugador se encuentre en el punto p (p.x, p.y [, p.z]) y el enemigo en el punto e (e.x, e.y [,e.z]), aplicaríamos el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:




NOTA: se ha añadido un tercer punto opcional a la ecuación que representaría el tercer eje en un sistema tridimentsional.


BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA